|
Маленькие детективы без кадавров
Виктор Толстых ПРЕСТУПЛЕНИЕ КОНТИНУУМА
Детективные истории встречаются и за пределами насыщенной бурными событиями голливудской жизни. Они бывает что не ведут к стрельбе и мёртвым телам(кадаврам) в подворотнях, с качающимися фонарями в косых струях дождя. Но они тоже исполнены драматизма, доступного лишь малой толике посвящённых. Можно ли об этих страстях поведать простым человеческим языком, чтобы и кухарка поняла о чём речь? Современные кухарки, особенно в России, вполне могут иметь высшее математическое образование, поэтому эта история в основном для них. Но также и для других любителей захватывающих повествований с неизвестным и неожиданным финалом. Не вздумайте пропустить хоть слово из того, что я вам расскажу, не заглядывайте в конец рассказа. Иначе вы будете лишены возможности узнать кто же на самом деле был убийцей, раз кадавра в подворотне так и не нашлось. В нашей повседневной скучной жизни математической периферии иногда встречаются задачи, достойные называться детективом. Такой задачей, ни с того, ни с сего породившей огромную область математики, мало понятную и мало кому нужную, но которая между тем не отпускает - является проблема континуума. Начнём почти с начала, чтобы и любой кухарке можно было понять о чём речь. Всем известно математическое понятие множества: множество людей в магазине, множество грибов в корзине, множество мух в комнате, и даже множество точек на единичном отрезке I=(0,1). Т.е. множество всех чисел больше нуля и меньше единицы. Его ещё называют континуумом, т.е непрерывным и о нём в дальнейшем речь. В некоторых случаях удаётся установить количество элементов(или точек) множества и тогда мы говорим, что их конечное число и само множество конечно. Солдатам в строю говорят: «По порядку номеров рассчитайсь!». И тогда каждый элемент множества, т.е. солдат в строю, получает свой уникальный номер. На языке математики это называется установить изморфизм между двумя множествами: множеством солдат и множеством номеров. Тогда множество становится индексированным, т.е. пересчитанным. Чуть сложнее ситуация когда множество не конечно. К примеру, множество номеров N – всех чисел от единицы и далее N={1,2,3,4…} - бесконечно. Это легко доказать от противного: предположим, что существует конечное, самое большое число n. Тогда прибавим к нему единицу, и очевидно, что n+1 будет больше чем n. Вот и всё доказательство – нет самого большого числа и, следовательно, таких чисел точно бесконечно. Можно также сказать, что множество всех чётных чисел и множество всех целых чисел, включяя отрицательные – тоже бесконечные. Но они не только бесконечные, но ещё и счётные. Последнее подразумевает, что существует изморфизм (точка в точку) между данным множеством A и множеством номеров N. Иными словами, точки множеств A можно пересчитать. К примеру, чётные числа A=2N пересчитываются по закону a = 2´n. Т.е. для каждого чётного числа найдётся свой номер.
1 ®
2
n
®
2 ´n Аналогично, для любого целого A=Z тоже найдётся номер по закону
1 ®
0 ... Все бесконечные множества, для которых удаётся найти такой изоморфизм с множеством натуральных чисел N, называются счётными. К примеру, счётными являются множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел выражающихся в радикалах и другие. Вместе с тем, существуют и несчётные множества. Если мы пожелаем найти изоморфизм множества N с множеством I всех вещественных чисел между 0 и 1, то нас постигнет неудача. Великий математик Георг Кантор доказал, что такого изоморфизма не существует. Доказательство простенькое, поэтому приведём его. Оно от противного, т.е. исходит из обратного предположения, что такой изоморфизм существует. Предположим, что мы каким-то загадочным образом сумели построить такой изоморфизм, т.е для каждого номера нашли вещественное число из отрезка (0,1), и наоборот, для каждого такого числа xÎ(0,1) существует номер nÎN, т.е. натуральное число. Символ «Î» означает «принадлежит к множеству». Выпишем такой изоморфизм, подставив для удобства произвольные цифры
1®
0.500000000000….. … Теперь покажем, что какие бы числа ни были в этом списке, в нём точно пропущено по крайней мере одно число. Если число пропущено – это уже не изоморфизм множеств. Число это будет y = 0.19464…3... и построим мы его по такому правилу: - первую десятичную цифру возьмём отличную от первой цифры первого числа. 1 вместо 5. - вторую десятичную цифру возьмём отличную от второй цифры второго числа. 9 вместо 2 - третью десятичную цифру возьмём отличную от третьей цифры третьего числа. 4 вместо 8 - ... - n-ю десятичную цифру возьмём отличную от n-й цифры n-го числа. Т.е. 3 вместо 7 - и т.д. Это число очевидно не содержится в приведённом списке, поскольку отличается от первого числа первой цифрой, от второго числа второй цифрой, от третьего числа третьей цифрой.... И вообще, от любого n-нного числа отличается n-нной цифрой. Следовательно, отличается вообще от всех чисел этого списка. Вот мы и доказали, что всегда есть пропущенное число, т.е. изоморфизм не существует. Существование несчётных множеств естественным образом заставляет задаться вопросом изоморфизма разного рода несчётных множеств. Легко доказать, что открытый интервал I=(0,1) и вся прямая R=(-¥,+¥) взаимно изоморфны. Ещё говорят, что они имет одинаковые мощности, это является продолжением количественной оценки для конечных множеств - «равное количество точек». Оказывается, что в этом смысле в отрезке и во всей прямой одинаковое количество точек. Более того, в отрезке I и в квадрате I´I количество точек тоже одинаково – эти множества равномощны. Присвоим количественную оценку счётным множествам, которые все равномощны множеству натуральных чисел - N. Пусть это будет кардинальное число - À0. А что назвать следующим кардинальным числом À1, которое относится к несчётным множествам? По идее, это должно быть множество, равномощное множеству точек единичного отрезка. Назовём пока мощность единичного отрезка другим кардинальным числом - Â1. Оказывается, что на эту роль есть ещё по крайней мере один претендент – это множество всех подмножеств множества натуральных чисел (обозначение - 2N). Мощность такого множества À1 = 2À0. Доказано, что для любого k, верно Àk+1 > Àk. Т.е. мощность множества всех подмножеств любого бесконечного множества всегда больше чем мощность самого этого множества. Имеется бесконечная цепочка множеств всё возрастающей мощности, т.е. сложность бесконечности само уходит в бесконечность и от такой мысли впору закружиться голове. Аналогично, мы можем образовать другую такую цепочку, начинающуюся от единичного отрезка и множества всех его подмножеств Â2 = 2Â1. Здесь аналогично для любого k верно Âk+1 > Âk. Тоже бесконечная цепочка попарно неизоморфных бесконечностей. Вопрос: равны ли Â1 и À1? Т.е. существует ли изоморфизм между множеством вещественных чисел расположенных между 0 и 1, и множеством всех подмножеств множества натуральных чисел? Эта задача называется проблемой континуума или континуум-гипотезой. У этой гипотезы есть головоломное оригинальное решение, удостоенное медали Филдса – аналога Нобелевской премии для молодых математиков. Если сидите, то лучше не вставайте, чтобы не упасть: Молодой математик Поль Дж.Коэн в конце 60-х «доказал недоказуемость доказательства» континуум-гипотезы! Вот так. Дело в том, что стройное здание математики строится на небольшом числе аксиом – первичных утверждений, считающихся очевидными. В настоящее время принята система аксиом Цермело-Френкеля (ZF). В этой системе наиболее известной является Аксиома Выбора: «Для любого множества множеств, из каждого множества можно выбрать по элементу и образовать из этих элементов новое множество». Такое «очевидное» утверждение кому-то очевидно, а кого-то с ума сводит. Чем больше в него вдумываешься, тем меньше понимаешь, что там может быть очевидного. Ну вот, на том и стоим. Но оказывается, что даже такой системы аксиом недостаточно для доказательства континуум гипотезы – она никак не связана с системой ZF. Это означает, что мы можем принять соглашение, что Â1 = À1 и продолжить строить теорию, посчитав это утверждение новой аксиомой. Но можем посчитать, что Â1 > À1 или Â1 < À1 и строить науку дальше. Ничего противоречивого мы ни в одном случае не получим и ни один этаж в здании математики от этого не рухнет!
В доказательстве Кантора несчётности отрезка, которое называется диагональным, используются множества десятичных цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. А что если мы десятичные на что-то иное поменяем? К примеру, на двоичные – {0,1}. Пусть
1®
0.100000000000….. n® 0.111111110000…..1.... (1 на n-й позиции)
Тогда, по старому правилу, получаем пропущенное число y = 0.01110…1... . Нетрудно видеть, что в отличие от десятичной системы счисления, в двоичной оно единственное. Получается вроде бы, что отсутствует лишь одно-единственное число. Но разве счётное плюс один не будет счётным? Конечно будет. Но доказательство указывает, что список полон и НИ ОДНО число в нём не пропущено! Если есть хоть одно, то это значит, что полный список не существует. Но что же делать с этим единственным значением? Мне пришлось лично в разное время переписываться с двумя авторами (один из них московский профессор), утверждающими, что они опровергли таким образом доказательство Кантора. Они предлагали просто добавить к списку это число, куда-нибудь между n и n+1 и всё! Ну хорошо, отвечаю я, тогда я могу для нового списка построить по тому же правилу ещё одно новое число y2. Тогда, говорят, мы его тоже вставим и так бесконечное число раз. Это число раз счётно, а счётное плюс счётное будет счётным. Логично? Не очень. Пришлось прибегать к более весомому аргументу, оставленному прозапас, и указывать, что доказательство Кантора указывает на единственное число, но на самом деле их много. Делаю паузу... просят указать. Указываю, что можно построить диагональ, параллельную первой, начиная со второй цифры. Это число тоже не в списке, поскольку отличается от первого второй цифрой, от второго третьей от третьего четвёртой, от n-го n+1-й и т.д. Там в Москве долго молчат, видно жалко расставаться с иллюзиями, но потом понимая, что параллельных диагоналей много, сообщают, что их счётное число, а счётное умножить на счётное – счётно. Приходится ставить точку в споре, указав, что можно строить не только диагонали, а вообще любые «кривые», так чтобы любое n-ное число отличалось k-й по порядку цифрой. Неважно какой, но чтобы точно отличалось. А это уже нечто по количеству напоминающие «множество всех подмножеств» и на его счётность рассчитывать не приходится. Но вернёмся к вещественным числам, множество которых, как мы только что уверенно доказали с помощью Г.Кантора, несчётно. Оказывается, что здесь тоже не всё чисто – при внимательном рассмотрении оказывается, что мы доказали это на самом деле не для множества вещественных чисел на единичном отрезке (0,1), а для «множества бесконечных цифровых последовательностей». Т.е. для непонятно кому нужных всевозможных комбинаций десятичных цифр от 0 до 9, записанных последовательно после нуля и десятичной точки. Множество вещественных чисел от этого множества отличается. К примеру, середина отрезка, т.е. половина или одна вторая ½ - записывается не только как 0.5000000..., но и как 0.4999999... – число одно, а ни одна цифра в двух записях не совпадает. Это рациональное число, которое принято правильно записывать конечным способом, помещая бесконечно повторяющуюся часть в скобки. Т.е. - 0.5(0) и 0.4(9). Рациональные числа таким образом всегда записываются конечно и, разумеется, число таких ситуаций с двояко записываемыми числами даже меньше чем множество рациональных чисел отрезка, которое, как мы знаем, счётно. Несчётное минус счётное будет несчётное – казалось бы всё прояснилось и ничего страшного не произошло – множество вещественных чисел оказывается всё же несчётным. Однако, стоит лишь начать задумываться и сомнения охватывают: а как мы узнаем, что это число рациональное? Какой длины проверку цифр надо проводить на повторяемость и что вообще такое вещественное число из (0,1) если не простая комбинация цифр после нуля и десятичной точки? Ведь мы привыкли получать вещественные числа алгоритмически, т.е. в результате конечной процедуры, выраженной конечным набором символов, простой перебор всех комбинаций которых показывает, что таких чисел счётное число и не более. А других мы никогда не знали и не узнаем. Разве можно считать, что нечто «существует», если оно не может быть получено никаким образом? Вопросы, вопросы... они ведут прямиком к теореме, которую наши профессора предпочитают не вставлять в учебные пособия, чтобы крыши у несчастных студентов не съехали совсем и окончательно. Это – «полуподпольная» теорема Левенгейма-Скулема, которая в общем гласит, что вопрос несчётности точек этого треклятого отрезка зависит от дополнительных условий, которые мы неизбежно примем за пределами системы ZF. Т.е., мы можем доказать, что оно несчётно, а другие по-своему докажут, что счётно. Можно повышать голос, ссылаться на авторитеты, спорить до хрипоты, за грудки друг-дружку хватать, биться головой об стену, но истины так никто никогда и не узнает... Чиир!
Malmö, Sweden, Oct 2004.
|